أرسم مثلثًا \(ABC\) قائم الزاوية في \(A\) وغير متقايس الضلعين ثم عين نقطة \(D\) على \([BC]\) بحيث \(BD = BA\). المستقيم \(\Delta\) المار من \(D\) والعمودي على \((BC)\) يقطع \((AB)\) في \(E\).
1. للتقايس: لاحظ أن السؤال قد يحتوي على خطأ. من الأسهل مقارنة المثلثين اللذين يشتركان في الضلع \([BE]\) أو \([BD]\). لنحاول مقارنة المثلثين القائمين \(BAC\) و \(BDE\). ابحث عن زاوية مشتركة.
2. للاستنتاج: إذا كان المثلثان في السؤال (1) متقايسين، فماذا يمكنك أن تقول عن أضلاعهما المتناظرة، وتحديدًا \([BC]\) و \([BE]\)؟
1. مقارنة المثلثين \(BAC\) و \(BDE\):
2. طبيعة المثلث \(BCE\):
1. نقارن المثلثين \(BAC\) و \(BDE\):
إذن، المثلثان \(BAC\) و \(BDE\) متقايسان حسب حالة **زاوية-ضلع-زاوية (ASA)**. (لأن إذا تساوت زاويتان في مثلثين، فإن الثالثة متساوية).
2. بما أن المثلثين \(BAC\) و \(BDE\) متقايسان، فإن أضلاعهما المتناظرة متقايسة.
الضلع \([BC]\) يقابل الزاوية \(\angle BAC\).
الضلع \([BE]\) يقابل الزاوية \(\angle BDE\).
بما أن \(\angle BAC = \angle BDE = 90^\circ\)، فإن \(BC = BE\).
إذن، المثلث \(BCE\) له ضلعان متقايسان، فهو **مثلث متقايس الضلعين في B**.
أرسم مثلثًا \(ABC\) قائم الزاوية في \(C\) بحيث \(\angle BAC = 70^\circ\). ابن منصف الزاوية \(\angle BAC\) الذي يقطع \((BC)\) في \(D\). وابن المستقيم \(\Delta\) العمودي على \((AD)\) والمار من \(D\)، يقطع \((AC)\) في \(N\) و \((AB)\) في \(M\).
1. للتقايس: انظر إلى المثلثين \(AMD\) و \(AND\). ما هي العلاقة بينهما وبين المستقيم \((AD)\)؟ لديك زوايا قائمة وضلع مشترك.
2. للموسط العمودي: ما هي شروط الموسط العمودي؟ (عمودي ويمر بالمنتصف). ماذا تستنتج من تقايس السؤال (1)؟
3. للزوايا: استخدم مجموع زوايا المثلث. أنت تعرف \(\angle NAD\) (نصف 70°) و \(\angle ADN = 90^\circ\).
1. تقايس \(AMD\) و \(AND\):
2. استنتاج الموسط العمودي:
3. حساب الزوايا:
1. في المثلثين \(AMD\) و \(AND\):
- \(\angle MAD = \angle NAD\) (لأن (AD) منصف).
- \([AD]\) ضلع مشترك.
- \(\angle ADN = \angle ADM = 90^\circ\) (لأن \(\Delta \perp (AD)\)).
إذن المثلثان \(AMD\) و \(AND\) متقايسان حسب حالة **ASA**.
2. من التقايس نستنتج أن \(MD=ND\) و \(AM=AN\). بما أن \((AD) \perp (MN)\) و \(D\) هي منتصف \([MN]\) (لأن \(MD=ND\)), فإن **\((AD)\) هو الموسط العمودي لـ \([MN]\)**.
3.
- في المثلث القائم \(ADN\): \(\angle NAD = 70/2 = 35^\circ\). إذن \(\angle AND = 180 - 90 - 35 = 55^\circ\). إذن **\(\angle ANM = 55^\circ\)**.
- في المثلث الكبير \(ABC\): \(\angle B = 180 - 90 - 70 = 20^\circ\).
- من (1), \(\angle AMD = \angle AND = 55^\circ\). الزاوية \(\angle DMB\) مكملة لـ \(\angle AMD\), إذن \(\angle DMB = 180 - 55 = 125^\circ\).
4. للمقارنة بين \(BMD\) و \(CND\), لدينا \(MD=ND\) من (1). ولكن ليس لدينا معلومات كافية للمقارنة بين \(BM\) و \(CN\) أو \(\angle B\) و \(\angle CND\). إذن المثلثان **ليسا بالضرورة متقايسين**.
أرسم زاوية حادة \(x\hat{O}y\). وعين على \([Ox)\) نقطة \(A\) وعلى \([Oy)\) نقطة \(B\) بحيث \(OA = OB\). ثم أرسم المستقيم العمودي على \((Ox)\) المار من \(A\) ويقطع \((Oy)\) في \(C\)، والمستقيم العمودي على \((Oy)\) في \(B\) بحيث يقطع \((Ox)\) في \(D\).
1. للتقايس: انظر إلى المثلثين الكبيرين \(OAC\) و \(OBD\). لديك ضلعان متساويان \(OA=OB\) وزاوية مشتركة. ابحث عن زاوية أخرى متساوية.
2. للتقايس الثاني: استخدم نتائج التقايس الأول. ستجد أن بعض الأضلاع والزوايا متساوية. استخدمها لمقارنة المثلثين الصغيرين \(AMD\) و \(BMC\).
3. للمنصف: لإثبات أن \([OM)\) منصف، يكفي أن تثبت تقايس المثلثين \(OAM\) و \(OBM\).
1. تقايس \(OAC\) و \(OBD\):
2. تقايس \(AMD\) و \(BMC\):
3. إثبات أن \([OM)\) منصف:
1. في المثلثين القائمين \(OAC\) و \(OBD\):
- \(OA=OB\) (معطى).
- \(\angle AOC = \angle BOD\) (زاوية مشتركة).
إذن المثلثان \(OAC\) و \(OBD\) متقايسان حسب حالة **ASA** (لأن الزاوية الثالثة ستكون متساوية).
2. من التقايس (1)، نستنتج \(AC=BD\) و \(OC=OD\) و \(\angle ODB = \angle OCA\).
لدينا \(AD = OD-OA\) و \(BC = OC-OB\). بما أن \(OD=OC\) و \(OA=OB\)، فإن \(AD=BC\).
في المثلثين \(AMD\) و \(BMC\):
- \(AD=BC\).
- \(\angle ODB = \angle OCA\).
- \(\angle AMD = \angle BMC\) (متقابلتان بالرأس).
إذن المثلثان \(AMD\) و \(BMC\) متقايسان حسب حالة **AAS**.
3. من التقايس (2)، نستنتج \(MA=MB\).
نقارن المثلثين \(OAM\) و \(OBM\):
- \(OA=OB\) (معطى).
- \(MA=MB\) (نتيجة).
- \([OM]\) ضلع مشترك.
إذن المثلثان \(OAM\) و \(OBM\) متقايسان حسب حالة **SSS**.
ومنه، \(\angle AOM = \angle BOM\)، إذن **\([OM)\) هو منصف الزاوية \(x\hat{O}y\) **.
أرسم مثلثًا \(OAB\) قائم الزاوية في \(A\).
1. التناظر المركزي: ما هي خصائص التناظر المركزي؟ ماذا يعني "C نظيرة B بالنسبة لـ O"؟ (O هي منتصف...).
2. للتقايس: لديك مثلثان قائمان. استخدم خصائص التناظر المركزي لإيجاد عناصر متساوية (أضلاع، زوايا متقابلة بالرأس...).
3. للمنتصف: إذا كان المثلثان متقايسين، فإن أضلاعهما المتناظرة متساوية. قارن \([OA]\) و \([OD]\).
2. تقايس \(OAB\) و \(OCD\):
3. استنتاج أن \(O\) منتصف \([AD]\):
2. نقارن المثلثين القائمين \(OAB\) و \(OCD\):
- \(C\) نظيرة \(B\) بالنسبة لـ \(O\), إذن \(OB=OC\).
- \(\angle AOB = \angle COD\) (متقابلتان بالرأس).
- \(\angle OAB = \angle ODC = 90^\circ\).
إذن المثلثان \(OAB\) و \(OCD\) متقايسان حسب حالة **AAS (زاوية-زاوية-ضلع)**.
3. من تقايس المثلثين السابق، فإن أضلاعهما المتناظرة متقايسة.
الضلع \([OA]\) يقابل الزاوية \(\angle OBA\).
الضلع \([OD]\) يقابل الزاوية \(\angle OCD\).
بما أن المثلثين متقايسان، فإن \(\angle OBA = \angle OCD\), وبالتالي فإن **\(OA=OD\)**.
بما أن \(O \in [AD]\) و \(OA=OD\), فإن **\(O\) هي منتصف \([AD]\)**.
4. نقارن المثلثين \(OAC\) و \(OBD\):
- \(OA=OD\) (من 3).
- \(OC=OB\) (من 1).
- \(\angle AOC = \angle DOB\) (متقابلتان بالرأس).
إذن المثلثان \(OAC\) و \(OBD\) متقايسان حسب حالة **SAS (ضلع-زاوية-ضلع)**.
أرسم دائرة \(\mathcal{C}\) مركزها \(O\) و \([AB]\) حبل لا يمر من \(O\). منصف الزاوية \(\angle AOB\) يقطع \(\mathcal{C}\) في \(M\).
1. للتقايس: ما هي طبيعة الأضلاع \([OA]\), \([OB]\), \([OM]\) بالنسبة للدائرة؟ استخدم هذه الخاصية مع حقيقة أن \((OM)\) منصف زاوية.
2. للاستنتاج: إذا كان المثلثان متقايسين، فإن أضلاعهما وزواياهما المتناظرة متساوية. طبق هذا المبدأ.
1. تقايس \(OAM\) و \(OBM\):
1. نقارن المثلثين \(OAM\) و \(OBM\):
- \(OA = OB\) (لأنهما شعاعان في نفس الدائرة \(\mathcal{C}\)).
- \(\angle AOM = \angle BOM\) (لأن \([OM)\) منصف \(\angle AOB\)).
- \([OM]\) ضلع مشترك بين المثلثين.
إذن المثلثان \(OAM\) و \(OBM\) متقايسان حسب حالة **SAS (ضلع-زاوية-ضلع)**.
2. بما أن المثلثين \(OAM\) و \(OBM\) متقايسان:
- فإن أضلاعهما المتناظرة متقايسة، ومنه **\(MA = MB\) **.
- وإن زواياهما المتناظرة متقايسة، ومنه \(\angle OMA = \angle OMB\).
بما أن \(\angle OMA = \angle OMB\), فإن **\((MO)\) هو منصف الزاوية \(\angle AMB\) **.